Ира задумала число и прибавила к нему сумму его цифр. Андрей также задумал число и прибавил к нему сумму цифр. После прибавления они получили равные числа. объязательно ли они задумали одинаковые числа? Ответ объясните.

Разберём двузначные числа.

Каждое двузначное число может быть представлено как (10 х + y). Итак, мы имеем число "xy". После указанных действий получается 10x + y + x + y = 11x + 2y.

x = [1,2 ... 9], y = [0,1 ... 9]

Подставляя различные числа, мы не получаем двух различных пар x и y, которые при подставлении их значений выдавали бы одну и ту же сумму. Чтобы в этом убедиться, достаточно взять крайние значения:

x=1 и y=0 : 11

x=1 и y=9 : 29

А также

x=3 и y=0 : 33

Эта разница в 4 будет присутствовать всегда при x=2n+1 (где n - целые числа). В случае с x=2n совпадения с сочетаниями x=2n+1 не будет, так как при перемножении четного с нечетным (11) получается четное число, ну а 2y всегда будет четным (сумма с ним даст четное только при четном 11x).

Следовательно, для двузначных чисел это неосуществимо.