Исследовать на экстремум функцию z=xy (12-x-y)

z (x, y) = xy (12 - x - y) = 12xy - x2y - xy2,

∂z/∂x = 12y - 2xy - y2 = y (12 - 2x - y),

∂z/∂y = 12x - x2 - 2xy = x (12 - x - 2y),

∂z/∂x = y (12 - 2x - y) = 0, ∂z/∂y = x (12 - x - 2y) = 0 при x1 = 0, y1 = 0, x2 = 4, y2 = 4,

то M1 (0; 0), M2 (4; 4) - стационарные точки. В этих точках dz = 0, и выполняются необходимые условия экстремума.

Поскольку

∂2z/∂x2 = - 2y,

∂2z/∂y2 = - 2x,

∂2z / (∂x∂y) = 12 - 2x - 2y,

и в точке M1 (0; 0)

A = ∂2z (0; 0) / ∂x2 = - 2 ∙ 0 = 0,

B = ∂2z (0; 0) / (∂x∂y) = 12 - 2 ∙ 0 - 2 ∙ 0 = 12,

C = ∂2z (0; 0) / ∂y2 = - 2 ∙ 0 = 0,

∆ = AC - B2 = 0 - (12) 2 = - 144 < 0, то точка M1 не является точкой экстремума.

Поскольку

в точке M2 (4; 4)

A = ∂2z (4; 4) / ∂x2 = - 2 ∙ 4 = - 8 < 0,

B = ∂2z (4; 4) / (∂x∂y) = 12 - 2 ∙ 4 - 2 ∙ 4 = - 4,

C = ∂2z (4; 4) / ∂y2 = - 2 ∙ 4 = - 8 < 0,

∆ = AC - B2 = (-8) ∙ (-8) - (-4) 2 = 64 - 16 = 48 > 0, то точка M2 является точкой локального максимума. Значение функции в этой точке равно

z (4; 4) = 4 ∙ 4 ∙ (12 - 4 - 4) = 16 ∙ 4 = 64.