Log7 (x-4) + log7 (x+1) = log7 (4x+4)

1) log7 (x - 4) = 1 + log7 (x - 10).

Разберем ОДЗ:

х - 4 > 0; x > 4.

x - 10 > 0; x > 10.

Общее решение ОДЗ: x > 10.

Представим единицу как логарифм с основанием 7:

log7 (x - 4) = log77 + log7 (x - 10).

По правилу сложения логарифмов:

log7 (x - 4) = log7 (7 * (x - 10)).

log7 (x - 4) = log7 (7x - 70).

Избавляемся от логарифмов:

х - 4 = 7 х - 70.

Перевернем для удобства:

7 х - 70 = х - 4.

7 х - х = 70 - 4.

6 х = 66.

х = 11 (подходит по ОДЗ).

Ответ: корень уравнения равен 11.

2) log2 (x² - 4x + 4) = 4.

ОДЗ: x² - 4x + 4 > 0.

Это квадратичная парабола, ветви вверх. Точка пересечения с осью х: х = 2 (по теореме Виета). Так как ветки параболы вверх и неравенство строгое, то решение ОДЗ: х принадлежит (-∞; 2) и (2; + ∞).

Представим 4 как логарифм с основанием 2:

log2 (x² - 4x + 4) = log216.

Избавляемся от логарифмов.

x² - 4x + 4 = 16.

x² - 4x - 12 = 0.

Корни уравнения по теореме Виета равны - 2 и 6. Оба корня подходят под условие ОДЗ.

Ответ: корни уравнения равны - 2 и 6.