Периметр прямоугольного треугольника равна 390, а длина высоты, перпендикулярной гипотенузе, равна 60. найдите стороны треугольника

Катеты прямоугольного треугольника обозначим a и b, гипотенузу - с,

высоту, опущенную на гипотенузу - чере h, h=60.

a+b+c=390, c=390-a-b, a+b=390-c.

S (Δ) = ch/2, S (Δ) = ab/2 ⇒ ch=ab, 60c=ab, c=ab/60.

c²=a²+b² ⇒ (390-a-b) ²=a²+b²

390²+a²+b²-2*390a-2*390b+2ab=a²+b² ⇒

390²-780 (a+b) + 2*60c=0

390²-780 * (390-c) + 120c=0

152100-304200+780c+120c=0

900c=152100

c=169

Система:

{a+b=390-c=390-169=221, b=221-a,

{ab=60c=60*169=10140, a (221-a) = 10140, ⇒

a²-221a-10140=0, D=221²+4*10140=8281=91²,

a₁=65, a₂=156

b₁=156, b₂=65

Ответ: катеты равны 65 и 156, гипотенуза равна 169.