При каких значениях b графики функций имеют общие точки:

y=x^2+6x+7 и y=2x+b?

Y = x^2 + 6x + 7

Посмотрим, при каком b прямая y = 2x + b - касательная к параболе.

y (x0) = x0^2 + 6x0 + 7

y ' (x) = 2x + 6

y ' (x0) = 2x0 + 6

Уравнение касательной

f (x) = y (x0) + y ' (x0) * (x - x0) = x0^2 + 6x0 + 7 + (2x0 + 6) (x - x0) =

= x0^2 + 6x0 + 7 + (2x0+6) * x - 2x0^2 - 6x0 = (2x0+6) * x - x0^2 + 7 = 2x + b

Коэффициенты при одинаковых степенях х должны быть равны

{ 2x0 + 6 = 2

{ - x0^2 + 7 = b

Получаем

{ x0 = - 2; y (x0) = (-2) ^2 + 6 (-2) + 7 = 4 - 12 + 7 = - 1

{ b = - (-2) ^2 + 7 = - 4 + 7 = 3

Значит, прямая y = 2x + 3 - касательная к параболе в точке (-2; - 1)

При b > 3 прямая пересекает параболу в 2 точках.