Докажите, что во всяком непрямоугольном треугольнике произведение расстояний от ортоцентра до концов высоты есть величина постоянная для всех высот данного треугольника.

Пусть треугольник ABC, MNL-основания высот.

O-ортоцентр

Прямоугольные треугольники NOC и NOA. Подобны по острому углу O Откуда:

NO/OM=CO/OA или NO*OA=CO*OM

Рассмотрим теперь подобные прямоугольные треугольники: COL и OBN LO/OM=CO/OB

LO*OB=CO*OM, откуда:

CO*OM=LO*OB=NO*OA Что и требовалось доказать