Дана окружность с центром в точке o и точка а, лежащая вне этой окружности. Из точки a проведены две прямые, касающиеся данной окружности в точках m и n найдите радиус этой окружности если AO = 50 MN = 48 и известно что AM

Пусть R - радиус.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу. Следовательно, соединив точки А, М, О и А, О, N получим два равных прямоугольных треугольника АМО и АNО, поскольку ОМ=ОN=R, а сторона ОА - общая, а сами треугольники прямоугольные.

В таком случае МN в точке пересечения (обозначим ее Р) с АО делится пополам.

То есть МР = NР = 48/2=24

К тому же отрезок АО перпендикулярен отрезку МN.

Рассмотрим треугольник АМО.

1) ОМ=R, АО = 50, высота МР=24

По теореме Пифагора

АО² = ОМ² + АМ²

Следовательно,

50² = R² + АМ²,

АМ² = 50² - R²

2) Высота МР делит АО на два отрезка ОР и АР

ОР² = ОМ² - МР²,

то есть ОР² = R² - 24²

И

АР² = АМ² - МР²,

или (АО - ОР) ² = АМ² - МР²,

то есть [50 - √ (R² - 24²) ]² = АМ² - 24²

Отсюда АМ² = [50 - √ (R² - 24²) ] + 24²

3) Поскольку левые части уравнений из 1) и 2) равны, то равны и правые части:

50² - R² = [50 - √ (R² - 24²) ]² + 24²

50² - R² = 50² - 2•50•√ (R² - 24²) + R² - 24² + 24²

-50² + R² + 50² - 2•50•√ (R² - 24²) + R² - 24² + 24² = 0

2R² - 2•50•√ (R² - 24²) = 0

R² - 50•√ (R² - 24²) = 0

R² = 50•√ (R² - 24²)

R²/50 = √ (R² - 24²)

(R²/50) ² = [√ (R² - 24²) ]²

(R²) ²/2500 = R² - 24²

(R²) ² = 2500R² - 2500•576

(R²) ² - 2500R² + 1440000 = 0

Дискриминант = 2500•2500 - 4• 1440000 =

= 6250000 - 5760000 = 490000

Первый корень уравнения:

R² = (2500 + √490000) / 2=

= (2500 + 700) / 2 = 3200/2 = 1600

Следовательно, R=√1600 = 40

Второй корень уравнения:

R² = (2500 - √490000) / 2 =

= (2500 - 700) / 2 = 1800/2 = 900

Следовательно, R=√900 = 30

4) Поскольку по условию АМ<ОМ, иначе говоря, АМ
и из 1) известно, что

АО² = ОМ² + АМ²,

или

50² = R² + АМ²,

следовательно, АМ² = 50² - R²

подберем верный корень:

1. АМ² = 50² - R² = 2500-1600=900

АМ = √900 = 30

2. АМ² = 50² - 30² = 2500-900=1600

АМ = √1600 = 40

Для выполнения условия АМ
Ответ: R=40