Можно ли без остатка разделить нечётное число на чётное?

Нет, так как формулы:

2n - четное число

2n+1-нечетное число

а еще проще: чтобы из четного числа получить нечетное, нужно к четному прибавить 1 - поэтому остаток будет всегда.

0 не беру в расчет, так как на 0 делить нельзя.

Нет. Нельзя. Например: 7:4=1.75

Это десятичная дробь, но не остаток. В 1-4 классе этого не изучают.