Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = (x; y) в области (D), ограниченной заданными линиями:

z=x^2-2y^2+4xy-6x-1, (D) : y=0, x=0, x+y-3=0.

Z = x^2 - 2y^2 + 4xy - 6x - 1

Первые частные производные

{ dz/dx = 2x + 4y - 6 = 0

{ dz/dy = - 4y + 4x = 0

Получаем

{ x = y

{ 2x + 4x - 6 = 0

x = y = 1

Точка (1, 1) находится внутри заданного треугольника (D)

z (1, 1) = 1 - 2 + 4 - 6 - 1 = - 4

Вторые частные производные

{ A = d2z/dx^2 = 2 > 0

{ B = d2z/dxdy = 4

{ C = d2z/dy^2 = - 4

Дискриминант

Δ = AC - B^2 = 2 (-4) - 4^2 = - 8 - 16 = - 24 < 0

Вторые производные А, В, С постоянны, поэтому Δ везде < 0,

значит, ни в одной точке нет ни максимума, ни минимума.

Посчитаем значения функции в углах треугольника (D).

z (0, 0) = - 1, z (0, 3) = 0 - 2*9 + 0 - 0 - 1 = - 19

z (3, 0) = 9 - 0 + 0 - 6*3 - 1 = - 10

Минимум (0, 3, - 19), максимум (0, 0, - 1)