Задача 17. Пять команд сыграли футбольный турнир. Каждая сыграла с каждой ровно по одному разу. За победу давалось 3 очка, за ничью - 1 очко, за поражение - 0 очков. Победитель турнира набрал столько же очков, сколько и остальные 4 команды вместе взятые. Сколько было ничейных матчей в этом турнире?

Всего матчей было: 5 * 4/2 = 10

т. е. всего было разыграно более 20 очков, и не более 30

команда победитель сыграла 4 матча, а значит она могла набрать не более 4 * 3 = 12 очков, значит разыграно было не более 12 * 2 = 24 очка

если она хоть раз сыграла в ничью, то она набрала 3 * 3 + 1 = 10

тогда всего очков было бы разыграно 10 * 2 = 20 - чего быть не может (это означало бы, что все матчи сыграны в ничью)

значит команда победитель набрала 12 очков

всего было разыграно 24 очка

в 6 матчах, в которых не участвовала первая было разыграно 12 очков, значит по два очка в каждом матче, т. к. не менее чем два в каждом, а 12 : 6 = 2

значит игр в ничью было сыграно 6

Ответ: 6 матчей