Фермер засеял первое поле рожью, второе люцерной, третье горохом, а четвёртое поле пшеницей. на следующий год он должен засеять поля теми же культурами, но так, чтобы каждое поле было засеяно новой культурой. Сколькими способами он может это сделать?

Засеять 4 поля 4-мя культурами можно 4! = 1*2*3*4 = 24 способами.

Из них способы, в которых поля засеваются повторно той же культурой:

1) 1 поле рожь, 2 поле люцерна, 3 поле горох - 1 способ.

2) 1 поле рожь, 2 поле люцерна - 2 способа, один из которых уже учтён в п. 1). То есть 1 способ.

3) 1 поле рожь - 3! = 1*2*3 = 6 способов, два из которых уже учтены в п. 1) и 2). То есть 6-2 = 4 способа.

4) 2 поле люцерна - 3! = 1*2*3 = 6 способов, два из которых уже учтены в п. 1) и 2). То есть 6-2 = 4 способа.

5) 3 поле горох - 3! = 6 способов, три из которых уже учтены в п. 1), 3), 4). То есть 6-3 = 3 способа.

6) 4 поле пшеница - 3! = 6 способов, 4 из которых уже учтены в п. 1), 3), 4), 5). То есть 6-4 = 2 способа.

Итого 1+1+4+4+3+2 = 15 способов, при которых как минимум одно поле засевается повторно той же культурой.

Значит, засеять каждое поле новой культурой можно 24-15 = 9-ю способами.

P. S. Прошу прощения, что так "примитивно" посчитано, никак не могу сообразить, как привести задачу к более короткому решению. Но ответ верный.