1. можно ли из 37 веревочек сплести сетку так, чтобы каждая веревочка была связана ровно с 3 другими.

2. можно ли организовать шахматный турнир с 15 шахматистами так, чтобы каждый из них сыграл по 15 партий.

3. из шахматной доски вырезали две клетки - а1 и h6. можно ли оставшуюся часть доски разрезать на прямоугольник из 2 клеток.

4. конь вышел с клетки а1 и через несколько ходов вернулся обратно. докажите что он сделал четное кольчество шагов.

5. можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, начав с клетки а1, закончив на клетке h8 и на каждой клетке доски побвав ровно 1 раз.

6. в школе 1688 учащихся, причем мальчиков на 373 больше чем девочек. докажите что такого быть не может.

7

1) нельзя

Введем понятие графа:

Граф - конечное множество точек, соединенных между собой. Точки зовутся вершинами графа, а соединения - ребрами.

Вершина зовется нечетной (степени), если из нее выходит нечетное количество ребер

Докажем, что в графе нечетное количество всегда четно.

Пусть а1, а2, а3, ..., аn - степени четных вершин

b1, b2, b3, ..., bk - степени нечетных

Сумма а-тых=Sa

Сумма b-тых=Sb

Т. к. Ребро имеет два конца = > сумма степеней всех графа делится на 2

Тогда (Sa+Sb) делится на 2

Sa делается на 2, т. к все степени четны

=> Sb тоже делится на 2

Sb: каждая степень нечетна = > что бы Sb делилось на 2, то и число вершин должно быть четно

Что и требовалось доказать

1) через доказанное утверждение получаем, что 37 по 3 - нечетное количество нечетных вершин = > такого не могло быть

И так далее ...