7. Докажите, что биссектриса угла между неравными сторонами треугольника делит угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведёнными из общей вершины указанных сторон пополам.

Рассмотрим треугольник ABC (AB не равно АС), из вервершины А которого проведены высота АН, биссектриса AD и ради - радиус АО описанной окружности. Докажем, что луч AD - биссектриса угла О АН. Продолжим биссектрису AD до пересечения с описанной окружно - окружностью в точке М. Углы ОМА и О AM при основании равнобедренного треугольника ОAM равны, причем эти углы - острые. Поскольку ВМ=МС и ВО=ОС, то прямая ОМ является серединным перпендикуляром к отрезку ВС. Прямые ОМ и АН, будучи перпендикулярными к прямой ВС, параллельны. Поэтому если углы ОМА и DAH - накрест лежащие, то ∠DAH=∠OMA 90°. Но угол DAH является острым углом прямоугольного треугольника ВАН. Следовательно, ∠DAH=∠OMA=∠ОAM, причем лучи АН и АО лежат по разные стороны от прямой AD. Это и означает, что луч AD - биссектриса угла ОАН. Утверждение доказано.