в треугольник, основание которого равно 96 мм, а проведенная к нему высота равна 32 мм, вписан прямоугольник, большая сторона которого лежит на основании треугольника и относится к меньшей стороне как 9:5. найдите измерения прямоугольника

Имеем треугольник АВС с высотой ВО, в который вписан прямоугольник авсd, причем сторона аd прямоугольника лежит на большей стороне треугольника АС. Тогда имеем два подобных треугольника: вВс и АВС. В подобных треугольниках отношения сторон и высот равно коэффициенту подобия, то есть эти отношения равны. Из указанных подобных треугольников имеем: вс/АС = (ВО-ав) / ВО. Но АС=96, ВО = 32, ав - меньшая сторона вписанного прямоугольника, вс - большая сторона вписанного прямоугольника. Тогда имеем систему двух уравнений: вс/96 = (32-ав) / 32 и вс/ав = 9/5. Пояснение: (32-ав) - это высота меньшего из подобных треугольников.

Иток, из первого уравнения имеем вс/96 = (96-3 ав) / 96 или вс = 96 - 3 ав.

Подставим значение вс их первого уравнения во второе, тогда

(96 - 3 ав) / ав = 9/5. или 480 - 15 ав = 9 ав или 480=24 ав. Отсюда ав = 20. тогда вс = 36 (вытекает из 5 вс=9 ав или 180:5 = 36). Ответ: впмсанный прямоугольник имеет длину 36 мм и ширину 20 мм. Проверяется и отношениями и графическим построением.