Даны четыре вектора в некотором базисе. Показать что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе. a (4,1,4); b (-2,-1,1); c (3,1,5); d (-3,-2,1)

Вычислим определитель матрицы перехода, составленной из координат векторов

4 5 2

3 0 1 = - 27

-1 4 2

Так как определитель матрицы перехода не равен нулю, то ранг этой матрицы равен трём и из теоремы о базисном миноре следует, что векторы линейно независимы и могут быть приняты в качестве базиса пространства

разложив вектор d по базису получим систему уравнений

4x1+5x2+2x3=0

3x1+0x2+1x3=12

-1x1+4x2+2x3=-6

решив систему уравнений получаем

x1=2, x2=-4, x3=6

d=2a-4b+6c