При каких значениях b в разложении данных квадратных трехчленов 4 х^2-3 х-1 и х^2+2 х-b может быть один и тот же линейный множитель?

Разложим первый трёхчлен на линейные множители

4 х²-3x-1=4 * (x-x1) (x-x2)

D=b²-4ac=9+4*4*1=9+16=25

√D=5

x1 = (3+5) / 8=1

x2 = (3-5) / 8=-1/4 ⇒⇒

4x²-3x-1=4 * (x-1) (x+1/4) = (x-1) (4x+1)

Разложим второй трёхчлен на линейные множители:

x²+2x-b = (x-x3) (x-x4) - где х3 и х4 корни трёхчлена

Оба трёхчлена должны иметь один и тот же линейный множитель⇒ (х-1)

тогда

x3=1

x3+x4=-2 ⇒x4=-2-x3=-2-1=-3

x3*x4=1 * (-3) = - 3 = - b ⇒⇒b=3

И второй трёхчлен имеет вид:

х²+2 х-3 = (х-1) (х+3)

Первый множитель в нём тот же, что и в первом трёхчлене (х-1).

Или: оба трёхчлена должны иметь один и тот же линейный множитель⇒ (х+1/4)

тогда

х3=-1/4

х3+х4=-2 - 1/4+х4=-2 х4=-2+1/4 х4 = - (2-1/4) х4=-7/4

х3*х4 = (-1/4) * (-7/4) = 7/16=-b

тогда b=-7/16

Ответ: при b=3 и b = - 7/16.