Исследовать функцию на условный экстремум z=x^3-15x+12y при x-y=1

Решение. Найдем частные производные и составим систему уравнений (1):

или

Решая систему, получим четыре стационарные точки:

Найдем производные 2-го порядка

и составим дискриминант Δ=AC - B² для каждой стационарной точки.

1) Для точки :, Δ=AC-B²=36-144<0. Значит в точке экстремума нет.

2) Для точки P2: А=12, B=6, С=12; Δ=144-36>0, A>0. В точке Р2 функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции при х=2, у=1: zmin=8+6-30-12=-28.

3) Для точки : A = - 6, B=-12, С = - 6; Δ = 36-144 <0. Экстремума нет.

4) Для точки Р4: A=-12, B=-6, С=-12; Δ=144-36>0. B точке Р4 функция имеет максимум, равный Zmах=-8-6+30+12=28.

5°. ^ Условный экстремум. В простейшем случае условным экстремумом функции f (х, y) называется максимум или минимум этой функции, достигнутый при условии, что ее аргументы связаны уравнением φ (х, у) = 0 (уравнение связи). Чтобы найти условный экстремум функции f (х, у) при наличии соотношения φ (х, у) = 0, составляют так называемую функцию Лагранжа

F (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y),

где λ - неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум этой вспомогательной функции. Необходимые условия экстремума сводятся к системе трех уравнений

(2)

с тремя неизвестными х, у, λ, из которой можно, вообще говоря, определить эти неизвестные.

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа

для испытуемой системы значений х, у, λ, полученной из (2) при условии, что dх и dу связаны уравнением

.

Именно, функция f (х, y) имеет условный максимум, если d²F< 0, и условный минимум, если d²F>0. В частности, если дискриминант Δ для функции F (х, у} в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный максимум функции f (х, у), если A< 0 (или С<0), и условный минимум, если А> О (или С>0).

Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связи (число которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь приходится вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных множителей, сколько имеется уравнений связи.