У треугольника все стороны равны друг другу. На одной из сторон треугольника построен прямоугольник, площадь которого равна 96 см2, а одна из его сторон 8 см. Сторона прямоугольника совпадает со стороной треугольника. Найди площадь квадрата, периметр которого равен периметру получившейся фигуры. Рассмотри разные случаи.

1) найдем сторону равностороннего треугольника из условий:

а) одна сторона прямоугольника равна 8 см

б) площадь прямоугольника равна 96 см²

Тогда, вторая сторона прямоугольника равна

96/8=12 см

Таким образом получили 2 варианта: сторона треугольника равна 12 см, или сторона треугольника равна 8 см (в условии сказана, что 8 см - одна сторона прямоугольника, возможно и та, на которой он построен, то есть сторона треугольника).

2) рассмотрим получившуюся фигуру:

а) сторона треугольника 8, прямоугольник и треугольник имееют только общую сторону, тогда

периметр = 8+8+12+8+12=48 см ⇒площадь = (48/4) ²=12²=144 см²

б) сторона треугольника 8, прямоугольник и треугольник лежат по одну сторону от общей стороны, тогда

высота треугольника равна (√3) / 2*8≈6,93<12

то есть фигура прямоугольник:

периметр=8+12+8+12=40 площадь = (40/4) ²=10²=100 см²

в) сторона треугольника 12, прямоугольник и треугольник лежат по разные стороны от общей стороны

периметр=12+12+8+12+8=52 площадь = (52/4) ²=13²=169 см²

г) сторона треугольника 12, прямоугольник и треугольник лежат по одну сторону,

высота треугольника = (√3) / 2*12=6√3≈10,4>8

разобъем фигуру на 2: прямоугольник 8 на 12, и треугольник (равносторонний, кстати, например по тому что углы его равны углам данного) и высотой 6√3-8 см

тогда сторона треугольника равна: высота*2/√3

((√3) / 2*12-8) * 2/√3 = (6√3-8) * 2/√3=12-16/√3 см

Таким образом периметр фигуры будет:

8+12+8 + (12 - (12-16/√3)) + 2 * (12-16/√3)

первые 3 слагаемых - стороны прямоугольника, 4 - длина стороны прямоугольника, без стороны маленького треугольника, 5 - 2 стороны маленького треугольника

итак, периметр = 28+12-12+16√3+24-32√3=52-16/√3

площадь квадрата = ((52-16/√3) / 4) ² = (13-4/√3) ²=169-104 / (√3) + 16/3=523/3-104/√3=1/3 (523-104√3) см²