Найдите на отрезке [0; 4] наименьшее значение функции y=x³-3x²-9x+31

Производная равна 3*x^2-6*x-9.

Приравняем её нулю и найдём критические точки.

Квадратное уравнение, решаем относительно x:

Ищем дискриминант:D = (-6) ^2-4*3 * (-9) = 36-4*3 * (-9) = 36-12 * (-9) = 36 - (-12*9) = 36 - (-108) = 36+108=144;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1 = (√144 - (-6)) / (2*3) = (12 - (-6)) / (2*3) = (12+6) / (2*3) = 18 / (2*3) = 18/6=3;

x_2 = (-√144 - (-6)) / (2*3) = (-12 - (-6)) / (2*3) = (-12+6) / (2*3) = - 6 / (2*3) = - 6/6=-1.

Второй корень не входит в заданный промежуток.

Определяем свойство производной в точке х=3.

х = 2 3 4

y' = - 9 0 15.

Производная меняет знак с минуса на плюс - это минимум функции.

Она равна 3 ³-3*3 ²-9*3+31 = 27-27-27+31 = 4.

Ответ: наименьшее значение функции y=x³-3x²-9x+31

на отрезке [0; 4] равно 4.