С помощью метода математической индукции докажите равенство:

1+5+9 + ... + (4n-3) = n (2n-1)

Проверяем при n=1

слева только первое слагаемое 1, справа 1· (2·1-1) = 1

1=1

Предположим, что равенство верно при n=k

1+5+9 + ... + (4k-3) = k (2k-1)

и используя это равенство докажем, что верно при n=k+1

1+5+9 + ... + (4k-3) + (4k+4-3) = (k+1) (2k+2-1) (**)

Для доказательства возьмем левую часть сведем к правой.

Заменим в левой части последнего равенства 1+5+9 + ... + (4k-3) на k (2k-1).

Получим k (2k-1) + (4k+4-3) = упростим=2k²-k+4k+1=2k²+3k+1 = (k+1) (2k+1)

А это и есть правая часть равенства (**)

Согласно принципа математической индукции равенство верно для любого натурального n.