Доказать, что если число а и число а^2 + 2 простое, то число а^3+2 - тоже простое

Представляем нечетное число в виде 2 н+1, тогда следующее 2 н+3. н = 0,1, ...

Дальше по индукции:

при н=0 получаем числа 1 и 3. Очевидно, взаимно простые.

Предположим, что для некоторого н эти числа взаимно простые.

Тогда для н+1 получаем

1-е число: 2 (н+1) + 1 = 2 н+3 = (2 н+5) - 2

2-е число: 2 (н+1) + 3 = 2 н+5

делим почленно первое на второе, получаем

1 - 2 : (2 н+5).

При н>=0 знаменатель второго слагаемого очевидно больше числителя, т. е. это слагаемое всегда меньше 1, но не равно нулю. Следовательно при любом н это число не будет целым.

Согласно прниципу индукции заключаем, что любые два числа простые.