Мальчик записал квадратичную функцию f (x) = x^2+ax+b и занялся ее исследованием. В процессе исследования выяснилось, что ее график пересекает ось абсцисс в двух различных целых точках p и q. Также мальчик обнаружил, что хотя бы одно из чисел p и q, а также f (17) - простые числа. Найдите p+q.

Функцию можно записать в виде f (x) = (x - p) (x - q).

По условию f (17) = (17 - p) (17 - q) - простое число. Значит, одна из скобок равна + - 1 (в противном случае мы бы получили разложение простого числа на 2 множителя, не равные 1, чего быть не может). Без ограничения общности будем считать, что 17 - p = + - 1.

Есть два варианта:

1) 17 - p = 1. При этом p = 16 - не простое число. Поэтому q - простое.

Должно одновременно выполниться два условия: q - простое и f (17) = 17 - q - простое. Заметим, что q и 17 - q - разной чётности, тогда то из них, что чётно, равно единственному чётному простому числу - 2. Но тогда второе число равно 17 - 2 = 15 - не простое. Противоречие с условием.

2) 17 - p = - 1. При этом p = 18 - не простое число. Вновь q - простое. Добавляем к этому условие простоты f (17) = q - 17. Рассуждения те же: числа разной чётности, значит, одно из них равно 2. Если q = 2, то f (17) < 0, и это плохо. Значит, f (17) = 2, q = 19. Подходит!

Ответ. p + q = 18 + 19 = 37