Как написать обеим или обоим сторонам? какое правило?

По обеим сторонам - устойчивое выражение.

Но все зависит от того, к какому слову относится данное выражение. Например, если к берегам, то - по обоим берегам. Определяй часть речи слова, которое стоит следующим, в зависимости от этого делай вывод "обоим" или "обеим".