Захотелось поиграть - это глагол? Если да, то какое время?

Здесь два глагола.

захотелось - прошедшее время

поиграть - неопределённая форма глагола - время не определяется. так как это неизменяемая фора глагола.

Имей в виду: если в глаголе есть суффикс Л - то это прошедшее время.