Как правильно не аккуратность или неаккуратность? И ещё недоверие или не доверие?

Зависит от контекста.

Например:

Неаккуратность была его отрицательной чертой.

Он был наделён не аккуратностью, а скорее желанием упорядочить и разложить по полочкам все материалы, касающиеся работы, но мог не обращать внимания на немытые окна.