Не проснувшийся вовремя

-объяснить, почему "не" пишется раздельно;

-объяснить, почему "вовремя" пишется слитно.

Несмотря на засуху

-объяснить, почему "несмотря" пишется слитно.

Не проснувшийся вовремя:

Не проснувшийся пишется раздельно, потому что есть зависимое слово.

Вовремя пишется слитно, когда в предложении употребляется наречием. Раздельно, когда в предложении употребляется существительным.

Несмотря на засуху:

Несмотря пишется раздельно, когда имеет значение "не обращая внимания"