К какому спряжению относится слово бегаешь?

К первому спряжению - ешь окончание, не ишь.

Чтобы определить спряжение, поставим глагол в начальную форму.

Бегать - глагол 1 спряжения, т. к. оканчивается на ать и имеет в окончаниях букву е - бегаем, бегаешь.

Не стоит путать этот глагол с однокоренным бежать, т. к. бежать - глагол разноспрягаемый.