Почему слово увидЕть пишется через букву Е?

Спряжение глаголов (слово исключение)

Потому что есть правило:

Второго спряжения все глаголы на - ить,

Кроме брить, стелить. Семь глаголов на - еть: терпеть, вертеть, обидеть, зависеть, ненавидеть, видеть, смотреть. Четыре глагола на - ать: держать слышать, гнать, дышать. Следовательно слово "увидеть" исключение и стоит во втором спряжение.