Как проверить слово именинник?

Если речь о гласной "е", то можно проверить через родственные слова: имя, точнее его форму во множественном числе родительном падеже: "имён". Также через слово "одноимённый".

Если речь о двух "н": "именник" = основа слова "именины" (без окончания) + суффикс "ник". Отсюда двойная Н.