что общего у слов птица, певица, петь и птаха.

мне кажется, что здесь родственные корни. Возможно, что они являются выводом (одно из другого. т. е. птица умеет петь, через время появилось слово певица. думаю, вы поняли, о чём я говорю.)

птица (корень - пт-), птаха (корень - пт-), певица (корень - пе-), петь (корень - пе-).