Синтаксический разбор словосочетания жил в лесу

Жил в лесу. - управление, т. к. главное слово жил может меняться, а в лесу - не меняется.

жил (где?) лесу. жил - сказуемое (подчеркиваешь двумя линиями), в лесу - обстоятельство (пунктир с точкой).