Спряжение и часть речи слова плачущим

Плачущим - это причастие, т. к. причастие - это признак предмета по действию. Например, поставим "плачущим" в н. ф. - "плачущий".

Плачущий мальчик - в этом словосочетании слово "плачущий" является признаком мальчика по совершаемому им действию - мальчик плачет.

Спряжение причастий определяется по глаголу, от которого они образованы. Причастие плачущий образовано от глагола плакать. Плакать оканчиватся на ать, значит, 1 спряжение.

Ответ: 1 спряжение, причастие.