Почему германские императоры стремились подчинить своей власти города северной Италии

Потому что хотели свое государство представить приемником Римской империи, что было даже зафиксировано в названии - Священная Римская империя.

Для чего это было надо? Бывшие варвары, создав на обломках Великой империи новые государства, таким образом придавали легитимность и политический авторитет своей власти.