Происхождение слова баюкать

Баюкать - 1. Ласково, тихо напевая, укачивать ребенка.

2. перен. разг. Успокаивая, заставлять забыть о реальности.

Производное (по аналогии с даяти, лияти, пияти, ср. подаяние, влияние, пиявка) от бати, в других славянских языках еще известного (ср. чешск. báti "рассказывать", в.-лужицк. bać "фантазировать" и др.). Общеслав. bati родственно лат. fāri "говорить", арм. ban "слово", латышск. bóti "спрашивать" и т. д.