Окончив весной Петербургскую консерваторию, Чайковского пригласили в число её профессоров. Скажите, в чем заключается ошибка в данном предложении? Верно ли, что здесь есть ошибка с неправильным построением предложения с деепричастным оборотом? Если да, то объясните, почему?

Да, здесь есть ошибка - неправильно построено предложение с деепричастным оборотом. Правильный вариант:

Весной, когда Чайковский окончил Петербургскую консерваторию, его пригласили в число её профессоров.

После окончания консерватории Чайковский был приглашен в число её профессоров.

Окончив весной Петербургскую консерваторию, Чайковский стал одним из её профессоров.

Возможны и другие варианты.