1) Докажите, что: (2 в 3 степени+3 в 3 степени + ... + 196 в 3 степени+197 в 3 степени) делится на 199

2) Найдите последнюю цифру числа: 2 в степени 1047

1) 2³ + 3³ + ... + 197³ = (2³ + 197³) + (3³ + 196³) + ... + (99³ + 100³)

Далее воспользуемся формулой суммы кубов a³ + b³ = (a + b) * (a² - a*b + b²)

Видно, что каждое слагаемое делится на 199, так как сумма оснований равна 199, поэтому на 199 делится и вся сумма

2) 2⁵ заканчивается на 2. это означает, что при увеличении показателя степени на 4 последняя цифра не меняется. Следовательно, у 2¹⁰⁴⁷ последняя цифра будет такой же, что и у 2³, то есть 8