Задача 1: В треугольнике ABC биссектриса из вершины A, высота из вершины B и серединный перпендикуляр к стороне AB пересекаются в одной точке. Найдите величину угла A.

Пусть Q точка пересечения указанных в условии биссектрисы, высоты BH и серединного перпендикуляра. Обозначим BAQ = CAQ = α. Поскольку точка Q лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то ABQ = BAQ = α.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника ABH равна 90 градусов, поэтому α + 2α = 90 градусов. Отсюда находим, что α = 30 градусов.=> BAC = 2α = 60 градусов.

Такое чувство, что они могут пересекаться только в равностороннем тр-ке и все будут являться и биссекрисами, и медианами, и высотами одновреммено. Тогда угол 60 градусов.