Решите в натуральных числах уравнение x!+y!+z! = k!. Объясните, почему других решений нет. Восклицательный знак, как обычно, обозначает факториал.

Не теряя общности можно считать, что x≤y≤z. Тогда при z=1 решений нет, при z=2 решения только x=y=z=2. Т. к. левая часть уравнения не превосходит 3z!, то k!≤3z!, т. е k!/z! = (z+1) (z+2) · ... · (k-1) k≤3, Но при z≥3, это невозможно. Значит единственное решение x=y=z=2.