Существуют ли целые числа a, b, c, удовлетворяющие равенству: (a+b) (b+3c) (c+5a) = 2015

Не существуют, Иначе, т. к. 2015 - нечетное число, то каждый множитель в скобках тоже должен быть нечетным числом. Значит их сумма (как сумма трех нечетных чисел) должна быть нечетной. Но с другой стороны:

(a+b) + (b+3c) + (c+5a) = 6 а+2b+4c=2 (3a+b+2c) - четное. Противоречие.