Докажите что из равенства (a-b) ^2 + (b-c) ^2 + (c-a) ^2 = (a+b-2c^2) + (b+c-2a) ^2 + (c+a-2b) ^2 следует, что a=b=c

(a-b) ² + (b-c) ² + (c-a) ² = (a+b-2c) ² + (b+c-2a) ² + (c+a-2b) ²

(a+b-2c) ² - (a-b) ² + (b+c-2a) ² - (b-c) ² + (c+a-2b) ² - (c-a) ²=0

(a+b-2c-a+b) (a+b-2c+a-b) + (b+c-2a-b+c) (b+c-2a+b-c) + (c+a-2b-c+a) (c+a-2b+c-a) = 0

(2b-2c) (2a-2c) + (2c-2a) (2b-2a) + (2a-2b) (2c-2b) = 0

(b-c) (a-c) + (c-a) (b-a) + (a-b) (c-b) = 0

если принять, что в=с, то тождество примет вид

(b-a) ²=0, т. е. b=a

или (с-a) ²=0, т. е. с=a

Получается что а=b=c

(a-b) ^2 + (b-c) ^2 + (c-a) ^2 = (a+b-2c) ^2 + (b+c-2a) ^2 + (c+a-2b) ^2

Заменим:

a-b=x

b-c=y

c-a=z

x^2+y^2+z^2 = (a-b+2 (b-c)) ^2 + (b-c+2 (c-a)) ^2 + (c-a+2 (a-b)) ^2

x^2+y^2+z^2 = (x+2y) ^2 + (y+2z) ^2 + (z+2x) ^2

x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+4 (y^2+x^2+z^2) + 4 (xy+yz+zx)

y^2+x^2+z^2 = - (xy+yz+zx)

y^2+x^2+z^2+2 (xy+yz+zx) = xy+yz+zx

(x+y+z) ^2=xy+yz+zx

можно заметить что x+y+z=0

xy+yz+zx=0

2xy+2yz+2zx=0

Вернемся к исходному равенству:

x^2+y^2+z^2 = (a-b+2 (b-c)) ^2 + (b-c+2 (c-a)) ^2 + (c-a+2 (a-b)) ^2

Складывая его с полученным:

x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2zx = (a-b+2 (b-c)) ^2 + (b-c+2 (c-a)) ^2 + (c-a+2 (a-b)) ^2

(x+y+z) ^2 = (a-b+2 (b-c)) ^2 + (b-c+2 (c-a)) ^2 + (c-a+2 (a-b)) ^2

тк x+y+z=0

(a-b+2 (b-c)) ^2 + (b-c+2 (c-a)) ^2 + (c-a+2 (a-b)) ^2=0

Сумма квадратов 0 кагда каждый из них 0

a+b-2c=0

b+c-2a=0

c+a-2b=0

вычетая 1 и 2 уравнение получим:

-2c+2a=0

c=a

вычетая 2 и 3 получим

2b-2a=0

a=b

Откуда a=b=c

Чтд