Доказать методом математической индукции:

1^3+2^3 + ... + n^3 = (1+2 + ... + n) ^2

n=1: 1 = (1) ^2=1 - верно для n=1

n=k: 1^3+2^3 + ... + k^3 = (1+2 + ... + k) ^2

Рассмотрим сумму 1+2+3 ... + k - сумма арифметической прогрессии

1+2+3 + ... + k = (1+k) k/2

1^3+2^3 + ... + k^3 = (k+1) ^2*k^2/4

n=k+1: 1^3+2^3 + ... + k^3 + (k+1) ^3 = (k+2) ^2 * (k+1) ^2/4

Вернемся к n=k и прибавим к нему соответствующее значение (k+1), то есть (k+1) ^3:

1^3+2^3 + ... + k^3 + (k+1) ^3 = (k+1) ^2*k^2/4 + (k+1) ^3 = (k+1) ^2 (k^2/4 + k+1) = (k+1) ^2 * (k^2+4k+4) / 4 = (k+1) ^2 * (k+2) ^2/4

Теперь сравните этот результат с результатом n=k+1

Итак, методом математической индукции мы доказали, что исходное выражение верно для любого значения n