Почему интеграл от dx равен x?

Теорема. Если функция F1 (x) b F2 (x) - две первообразные от функции f (x) на отрезке [a; b], то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство.

F1' (x) = f (x) (1) F2' (x) = f (x), то F1' (x) - F2' (x) = Const.

φ (x) = F1 - F2 φ' (x) = F1' - F2' = 0

Т. е. обозначим: F1 (x) - F2 (x) = φ (x) (2) Тогда на основании равенств (1) будет: F1' (x) - F2' (x) = f (x) - f (x) = 0 или φ' (x) = [F1 (x) - F2 (x) ]' = 0 при любом значении x на отрезке[a; b]. Но из равенства φ' (x) = 0 следует, что φ (x) есть постоянная. Действительно, применим теорему Лагранжа к функции φ (x), которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке [a; b]. Какова ни была точка x на отрезке [a; b], мы имеем в силу теоремы Лагранжа.

φ (x) - φ (a) = φ' (x) (x-a), где a
(3) Таким образом, функция φ (x) в любой точке x отрезка [a; b] сохраняет значения φ (a), а это значит, что функция φ (x) является постоянной на отрезке [a; b]. Обозначая постоянную φ (a) через С, из равенств (2), (3) получаем: F1 (x) - F2 (x) = С Определение. Если функция F (x) является первообразной для f (x), то выражение F (x) + С называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обозначается символом ∫ f (x) dx. Таким образом, по определению, ∫ f (x) dx = F (x) + С, если F (x) = f (x). При этом функцию f (x) называют подынтегральной функцией, f (x) dx - подынтегральным выражением, знак ∫ - знаком интеграла. Из этого определения следуют свойства:

1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т. е. если F' (x) = f (x), то и (∫ f (x) dx) ' = (F (x) + C) ' = f (x)

(4) Последнее равенство нужно принимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции. 2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению d (∫ f (x) dx) = f (x) dx

(5) Это получается на основании формулы (4) 3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная ∫ dF (x) = F (x) + C С праведливость последнего равенства легко проверить дифференцированием (дифференциала от обоих частей равенства равны dFx))

или как в шутке, мелко и коротко, x - это тождественная функция (f (x) = x).