Определить область значения функций y=2cos^2x+2sinx-1

Y = 2·cos²x + 2·sin x - 1 = 2· (1 - sin²x) + 2·sin x - 1 = 2 - 2·sin²x + 2·sin x - 1 = - 2·sin²x + 2·sin x + 1

Замена: t = sin x

Y = - 2t² + 2t + 1, |t| ≤ 1 - - часть параболы, направленной ветвями вниз, и с вершиной в точке tв = - 2 / 2· (-2) = 1/2.

Тогда максимальное значение функция достигает в tв = 1/2,

минимальное - - при t, наиболее удалённом от tв, т. е. в точке t = - 1.

Ymax = Y (1/2) = - 2· (1/2) ² + 2· (1/2) + 1 = - 1/2 + 1 + 1 = 3/2

Ymin = Y (-1) = - 2· (-1) ² + 2· (-1) + 1 = - 2 - 2 + 1 = - 3

Ответ: E (Y) = [-3; 3/2].