Найдите наибольший объем правильной четырехугольной призмы, диагональ которой равна 8√3 см

Пусть в основании лежит квадрат со стороной a, высота равна h. Тогда квадрат длины диагонали d вычисляется по формуле d^2 = 2a^2 + h^2, объём по формуле a^2 * h,

2a^2 + h^2 = (8*sqrt (3)) ^2

2a^2 + h^2 = 192

2a^2 = 192 - h^2

a^2 = (192 - h^2) / 2

V (h) = (192 - h^2) * h / 2 = 96h - h^3 / 2

Нужно найти максимальное значение V, если h принимает значения из отрезка [0, 8sqrt (3) ].

V' (h) = 96 - 3h^2 / 2 = 0

3h^3 = 192

h^2 = 64

h = 8

V' (h) > 0 при h < 8; V' (h) 8, поэтому h = 8 - точка максимума.

Vmax = V (8) = (192 - 64) * 8 / 2 = 512