Существует ли такое положительное число a, что при всех

действительных x верно неравенство

|cosx|+|cosax|>sinx+sinax

1. Положим 0 < a ≤ 1.

При х=п/2 имеется неравенство |cos (aπ/2) | > 1 + sin (aπ/2). В идно что правая часть больше 1, а левая - меньше 1.

Следовательно можно сделать вывод что неравенство не выполнено.

2. Положим a>1 и обозначив ax=b; c=1/a тогда x=bc, имеем

|cos bc| + |cos b| > sin bc + sin b. Аналогично, с пункту 1 имеем, что неравенство не выполняется для всех действительных х.