При каких значениях-а-уравнение |x²+6x|=a имеет два корня?

Ax^2 - (a^2+5) x+3a-5=0

Если у данного уравнения существуют два различных натуральных корня X1 и X2, то их сумма и произведение - тоже натуральные числа. тогда по теореме Виета:

x_{1} * x_{2} = / frac{3a-5}{a} / /

/frac{3a-5}{a} = n_{1}, где n1 - нат. число. Тогда

3a-5 = n_{1}*a / /

Правая часть данного равенства делится на a, значит и левая должна тоже делиться на a. Слева имеем сумму двух слагаемых, чтобы это сумма делилась на a, надо чтобы оба слагаемых делились на a.

3a делится на а, и 5 должно делиться на а. Т. о. а∈{ - 5, - 1, 1, 5}.

Подставляем поочередно эти значения а в выражение / frac{3a-5}{a}.

a=-5, / frac{3 * (-5) - 5}{-5} = / frac{-20}{-5} = 4 / / a=-1, / frac{3 * (-1) - 5}{-1} = / frac{-8}{-1} = 8 / / a=1, / frac{3*1-5}{1} = / frac{-2}{1} = - 2 / / a=5, / frac{3*5-5}{5} = / frac{10}{5} = 2 / /

Т. о. натуральное значение выражение принимает при а=-5, а=-1 и а=5.

По т. Виета x_{1} + x_{2} = / frac{a^2+5}{a} / /

Проверим при каких из этих значений сумма корней исходного уравнения будет натуральным числом:

a=-5; / frac{ (-5) ^2+5}{-5} = / frac{30}{-5} = - 6 / / a=-1; / frac{ (-1) ^2+5}{-1} = / frac{6}{-1} = - 6 / / a=5; / frac{5^2+5}{5} = / frac{30}{5} = 6 / /

Итак, уравнение может иметь два различных натуральных корня только при a=5. Проверим будут ли этом значении а корни исходного уравнения натуральными числами.

При a=5. уравнение примет вид:

5 x^{2} - 30x + 10 = 0 / / x^{2} - 6x + 2 = 0 / / D = 28

значит корни будут иррациональными.

Ответ: ∅.