1) Решить уравнение:

а) 2sin x-√3=0;

б) сtg x/3-1=0;

в) сos (2x-Pi/3) = - 1.

2) Определите число корней уравнения: √3 tg 2x+3=0, принадлежащих отрезку[Pi/3; 3Pi/2].

А) 2sinx-sqrt{3}=0 2sinx=sqrt{3} | : 2 (доделим на 2) sinx=sqrt{3}/2 x = (-1) ^k*arcsin{3}/2+pi*k, k£z x = (-1) ^k*pi/3+pi*k, k£Z. б) ctgx/3-1=0 ctgx/3=1 x/3=arcctg1+pi*k, k£Z x/3=pi/4+pi*k |•3 (домножили на 3) х=3pi/4+3pi*k, k£Z. в) cos (2x-pi/3) = - 1 2x-pi/3=pi+2pi*k, k£Z 2x=pi/3+pi+2pi*k 2x=4pi/3+2pi*k | : 2 x=2pi/3+pi*k, k£Z. г) sqrt{3}tg2x+3=0 sqrt{3}2x=-3 | : sqrt{3} (доделили на sqrt{3}) tg2x=-3/sqrt{3}=-sqrt{3} (избавились от иррациональности домножив числитель и знаменатель на sqrt{3}); tg2x=-sqrt{3} 2x=arctg-sqrt{3}+pi*k, k£z 2x=-arctg sqrt{3}+pi*k 2x=-pi/3+pi*k | : 2 x=-pi/6+pi*k/2, k£Z. И так, проверяем углы, нарисовав единичную окружность. Подставляем значения относительно k в промежутке [pi/3; 3pi/2]: 1) при k=0: - pi/6+0=-pi/6 - не подходит; 2) при k=1: - pi/6+pi/2=2pi/6=pi/3 - подходит; Далее мы будем писать только положительные значения k, так как у нас промежуток положительных углов; 3) при k=2: - pi/6+pi=5pi/6=150° - подходит; 4) при k=3; - pi/6+3pi/2=8pi/6=4pi/3=240° - подходит. И, кстати, угол 240° равен углу 60° то есть для тангенса tg240°=tg (180°+60°) = tg60°. Ты потом увидишь зачем нам это. 5) при k=4: - pi/6+12pi/6=11pi/6=330° - не подходит. И так, что у нас вышло. Мы облучили три угла. Но мы знаем, что углы в положительных четвертях для тангенса - одинаковы. То есть если у нас есть какие-то углы в первой или третей четвертях, то мы в ответ ещё и записываем симметричные им в другой положительной четверти, но тут у нас из трёх имеющихся есть два угла в положительных четвертях, и мы узнали, что они одинаковы, значит у нас нету дополнительных углов для них, они и есть противоположные. Ответ можно записать несколькими способами: 1) х=-pi/6+pi*k/2, k£Z. Но нам нужны углы в промежутке [pi/3; 3pi/2], то есть {pi/3+pi*k; 5pi/6+2pi*k} - эти углы лежат в промежутке [pi/3; 3pi/2], и их три. Ответ: три.