Вычислить: (-1-i) ^15

Решить уравнение: х^3 = 3-3i

Представим комплексное число z=-1-i в тригонометрической форме:

z=|z| * (cosφ+isinφ)

|z|=√ ((-1) ² + (-1) ²) = √2

Поскольку a<0 и b<0

φ=-π+arctg (b/a) = - π+arctg (-1/-1) = - π+arctg1=-π+π/4=-3π/4

Таким образом комплексное число в тригонометрической форме будет выглядеть:

z=√2 (cos (-3π/4) + isin (-3π/4))

Далее используем формулу Муавра:

zⁿ=|z|ⁿ (cos (nφ) + isin (nφ))

z¹⁵ = (-1-i) ¹⁵=√2¹⁵ (cos (15 * (-3π/4) + isin (15 * (-3π/4)) =

=128√2 (cos (-45π/4) + isin (-45π/4) = 128√2 (cos (-5π/4) + isin (-5π/4) =

=128√2 (-1/√2+i (1/√2) = - 128+i128

x³=3-3i

x=∛ (3-3i)

Корни ищем по формуле:

xₐ=∛|ω| (cos ((φ+2πa) / 3) + isin ((φ+2πa) / 3)),

где |ω| - модуль комплексного числа, коэффициент а принимает значения а={0,1,2}

Находим модуль и аргумент комплексного числа ω=3-3i

|ω|=√ (3² + (-3) ²=√18

Число ω располагается в 4-й четверти, поэтому

φ=arctg (b/a) = arctg (-3) / 3=arctg (-1) = - π/4

Детализируем формулу

xₐ=∛√18 (cos ((-π/4+2πa) / 3) + isin ((-π/4+2πa) / 3))

Подставляем значения а и находим корни

x₀=⁶√18 (cos (-π/12) + isin (-π/12)

x₁=⁶√18 (cos (-π/4+2π) + isin (-π/4+2π)) = ⁶√18 (cos (7π/4) + isin (7π/4))

x₂=⁶√18 (cos (-π/4+4π) + isin (-π/4+4π) = ⁶√18 (cos (15π/4) + isin (15π/4))