Докажите неравенство,

(a>0, b>0):

(P. s. это вообще реально доказать? XD)

a/b² + b/a² ≥ 1/a + 1/b

Преобразуем данное неравенство к виду

(a³ + b³) / a²b² ≥ (a + b) / ab

ab (a³ + b³) ≥ a²b² (a + b)

Сокращая на ab, получаем

(a³ + b³) ≥ ab (a + b)

Как известно, сумма кубов двух чисел равна

a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)

Подставляя в последнее неравенство, имеем

(a + b) (a² - ab + b²) ≥ ab (a + b)

Т. к. a > 0 и b > 0, сокращая на a + b, получаем

a² - ab + b² ≥ ab

a² - ab + b² - ab ≥ 0

a² - 2ab + b² ≥ 0

(a - b) ² ≥ 0, что является верным неравенством.

Что и требовалось доказать.