Как доказать что в правильном восьмиугольнике существуют три параллельные диагонали

Да, существуют, только не три, а четыре пары параллельных диагоналей, так как в правильном восьмиугольнике четыре пары параллельных сторон.

При соединении вершин этих сторон и получаются параллельные диагонали в виде сторон прямоугольников.

Для доказательства их параллельности нужно именно это и доказать, используя величины углов.

Угол восьмиугольника имеет величину 180 * (8-2) / 8 = 135 градусов, а между стороной и радиусом 135/2 = 67,5 градусов.

Так как диагональ опирается на угол 360*3/8 = 135 градусов, то угол между диагональю и радиусом = (180-135) / 2 = 22,5 градуса

Итак, угол в четырёхугольнике между стороной и диагональю составляет 67,5 + 22,5 = 90 градусов.

И так можно доказать по всем углам.

Значит, эти диагонали являются сторонами прямоугольника, а стороны прямоугольника - параллельны.